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汽车中A面设计的数学分析与应用

国内汽车造型设计中数字化技术已经广泛使用,有经验的设计人员日渐增加,标准日趋健全.本文以直观形象的方式介绍A面设计中涉及的数学原理,并对相关的A面设计标准作出解释,实现从实践到理论,再应用于实践的螺旋状上升。

一.A面设计中涉及到的基本数学原理

(一)三维曲面的数学表达

1.贝塞尔曲线

贝塞尔曲线*初是由 Paul de Casteljau 于1959年运用 de Casteljan算法开发,以稳定数值的方法求出。下面将通过几个例子说明贝塞尔曲线的原理。

(1)二次曲线

为建构二次贝塞尔曲线,如图l所示,可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t:

由P0至P1的连续点Q0,描述一条线性贝塞尔曲线。

由P1至P2的连续点Q1,描述一条线性贝塞尔曲线。

由Q0至Q1的连续点B(t),描述一条二次贝塞尔曲线。

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(2)高阶曲线

为建构高阶曲线,便需要相应更多的中介点。对于三次曲线,如图2所示,可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2,和由二次曲线描述的点R0、R1 所建构.

因此,n阶贝塞尔曲线可由以下表达式表示

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其中Pn在软件中通常被称为CV点(控制点)。由上述描述可以看出:软件中只需要记录若干CV点的坐标(x,y,z),即可使描述的贝塞尔曲线具有**性。

2.NURBS曲线

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NURBS是非均匀有理**条曲线(Non—UniformRational B—Splines)的缩写,如图3所示。与贝塞尔曲线有所区别,Nurbs曲线允许有n(n>=2)个端点落在曲线上,将曲线分成n一1个span,每个span都是相对独立的单元,对其中任意CV的调整只对有限个span造成影响,如图3所示,其中的e1,e2,e3即为增加的端点,对N5点的调整仅会对该条nurbs线条右侧的蓝色区域造成影响,而左侧的黑色部分将不会有任何改变。易于证得,当n=2时,span数为1,此时Nurbs方式表达的结果相当于贝塞尔曲线。由此可知,Nurbs实际上是Bezier的推广,B6zier是Nurbs在span=1的特殊情况。

3.面的数学表达原理

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图4 面的表达

面在软件中实际上是由一组U*V阶CV矩阵来进行表达的,在决定了原始的面必然方式呈四变形的,在软件中,即使再复杂的行面,也都是由基本的四边形通过拼接,裁减而成,如图4所示。

4.体的数学表达原理

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图5 体的表达

体实际上是由若干封闭面构成的内部空间。如图5所示,一个立方体在软件中实际纪录的是他的6个面,通过对其封闭进行调整,即可实现进行调整,即可实现对体的编辑。

由以上结论证明:CV点是三维软件数据结构的基础,点、线、面都是由CV点直接或者间接的进行描述而成的。CV点的多少决定了模型数据量的大小。

(二)连续性的数学意义

A面设计中必然会涉及到连续性的相关知识,众所周知,合适的连续性能够让模型更加美观,高光顺畅,对连续性的控制能力往往被认为是设计师水平的重要体现。下面以图6例子解释连续性在软件中是如何定义和判定的。

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图6 连续性的表达

图6中,上中下三组曲线显然分别在空间内达到G0,G1,G2连续。按照贝塞尔曲线的定义,可设左边曲线函数为f(x),右边曲线的函数为g(x),x ∈[0,1],且f(x),g(x)均为连续函数,可知两条曲线接合点的函数值分别为f(1)和g(0),有以下结论:

两条曲线满足G0连续的充要条件为f(1)=g(0);

两条曲线满足C1连续的充要条件为f(1)=g(0),且f’(1)=g’(0);

两条曲线满足G2连续的充要条件为f(1)=g(0),且f’(1)=g’(0),且        f”(1)=g”(0);

依次类推。由上式亦可知,满足高阶连续的两条曲线一定也满足比其低阶的连续性要求。显然,位置连续只需要端点重合,对曲线上的其他CV点均没有要求;而相切连续则不但要求端点重合,还对从端点开始第二个CV点有一定要求,根据贝塞尔曲线的生成原理易于证得端点与第二个CV的连线即为端点处的切线方向,因此两条贝塞尔曲线达到相切连续的充要条件也可以描述成,端点重合,且两条曲线的端点与第二个CV的连线共线(如图所示);曲率连续则不但要达到相切连续的要求,且对第三个CV点的位置也有要求,才能确保端点处的曲率半径相等,以下可依次类推。综上所述,可以得到推论:一般情况下,两条贝塞尔曲线从端点算起至少需要对N+1个CV点进行控制,方可达到GN连续。

以上结果可推论至曲面的情况:一般情况下,两张贝塞尔曲面从端线算起至少需要对N+I排CV点进行控制,方可达到GN连续。

(三)曲率梳

在图6中,绿色的类似梳子一样的线段组即为曲率梳。曲率梳由大量的线段将端点平滑连接而成。每条线段的几何意义如下:以曲线上某一点为起点,向该点曲率圆心相反方向延长,长度=该点曲率×系数,再将这些线段的末点平滑连接即得到该条曲线的曲率梳。其中,系数为一个可自定义的常量。

GO连续的判断只需观察端点是否重合即可,但G1和G2连续则需依靠曲率梳工具来判别,从图中我们可以发现,当两条曲线达到Gl连续时,由于f’(1)=g’(0),端点引出的线段方向是相同的;当两条曲线达到G2连续时,由于两端点处曲率相等,因此不但端点引出的线段方向是相同的,长度也相同;G3连续则不但需要满足以上要求,还需要评判曲率梳是否光顺。基于以上原理,通过曲率梳即可对G3连续以下的曲线进行准确评判。

二、数学原理在汽车A面设计中的应用

前面讨论了A面设计中经常用到的一些基本数学原理,下面重点讨论这些原理在A面设计中的实际应用。

(一)A面的定义及其一般性标准

大部分车厂的A面标准中,都会作以下规定:原则上必须是B6zier面,尽量不要用Nurbs面,曲面边界需要达到G2连续,对称面Y0平面的连续性需要达到c3连续,曲面的阶数不要超过6*6等。初学者甚至一些有经验的工程师,对这些规定的理解往往都并不是很透彻,在运用时较为机械,但实际上这些规则的制定都有其科学性,更容易控制曲面的质量。

以上论证了A面设计过程中所涉及的一些必要知识的数学意义,并基于此对A面设计标准作出了相应的解释。可以系统的了解A面设计标准中某些规定的设定背景及违背的后果,从而系统性的提升自身的技术水平。


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